<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
          Rua Henrique Schaumann, 
          270 -- Pinheiros 
          05413-010 -- So Paulo -- SP 
          Fone: (11) 3613-3000 
          Fax: (11) 3611-3308 
          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                              I
Sumrio

Terceira Parte

<R+>
<F->
Unidade 3 -- Segmentos, 
  ngulos e tringulos 
Captulo 10- Congruncia 
  de tringulos ::::::::::: 265 
Conceito matemtico de 
  congruncia ::::::::::::: 270 
Casos de congruncia ::::: 276 
Caso {l{a{l (Lado -- 
  ngulo -- Lado) :::::: 278 
Caso {a{l{a (ngulo --
  Lado -- ngulo) :::::: 280 
Caso {l{l{l (Lado -- 
   Lado -- Lado) ::::::: 283 
Caso {l{a{ao (Lado --  
  ngulo adjacente -- 
  ngulo oposto) :::::::: 284
Caso especial: tringulos 
  retngulos :::::::::::::: 286
Captulo 11- Pontos 
  notveis do tringulo ::: 292
Medianas e baricentro :::: 292
Bissetrizes e incentro ::: 294
Alturas e ortocentro ::::: 295 
Mediatrizes e 
  circuncentro :::::::::::: 299
Captulo 12- Tringulos 
  issceles/Tringulos
  equilteros ::::::::::::: 309
Tringulos issceles ::::: 309
Propriedades dos 
  tringulos issceles :::: 310
Propriedade recproca :::: 314  
Propriedades dos  
  tringulos 
  equilteros ::::::::::::: 316
Matemtica no tempo -- 
  Origens da 
  Geometria :::::::::::::: 340

Unidade 4 -- Estatstica
Captulo 13- Mdias :::: 347
Mdia aritmtica ::::::::: 348
Mdia ponderada :::::::::: 349 
Vamos interpretar a 
  mdia ::::::::::::::::::: 351  
Mdia geomtrica ::::::::: 356
Clculo da mdia numa 
  tabela de frequncias ::: 366

<F+>
<R->
<113>
<T mat. realidade 8>
<t+265> 
<113>
Unidade 3 -- Segmentos, ngulos 
  e tringulos

<F->
<R+>
Captulos: 
10- Congruncia de tringulos 
11- Pontos notveis do 
  tringulo 
12- Tringulos issceles/ 
    /Tringulos equilteros 
<R->
<F+>

Unidade 4 -- Estatstica

Captulo:
 13- Mdias
<113>

Captulo 10- Congruncia de 
  tringulos

<R+>
Fazendo experincias: medindo e recortando 
<R->

  Vamos fazer mais algumas experincias com tringulos. Para isso voc vai precisar do seguinte material: 
 lpis de cor 
 rgua 
 transferidor 
 folhas de papel 
 tesoura 

<R+>
_`[{para as experincias 1 a 3, pea orientao ao professor_`]
<R->

Experincia 1 

  Observe os tringulos _`[no representados_`].
  Eles so tringulos equilteros. Com rgua e transferidor, voc pode verificar que: 
<R+>
 seus ngulos so todos de 60; 
 seus lados medem: 3 cm no laranja, 2 cm no verde, 1 cm no azul e 3 cm no vermelho. 
<R->
  Agora vamos desenhar, pintar e recortar. Siga os procedimentos: 
<R+>
<F->
1 Em uma folha avulsa, copie e pinte os tringulos com as mesmas cores acima. 
2 Recorte os quatro tringulos. 
3 Sobreponha os tringulos e tente encontrar dois deles que coincidam exatamente. 
<F+>
<p>
_`[{um professor pergunta para a turma: "Vocs conseguiram encontrar algum par de tringulos coincidentes?". Uma menina responde: "Consegui! S os tringulos laranja e vermelho podem ser ajustados certinho um sobre o outro, porque os dois tm ngulos de 60 e lados de 3 cm."_`]
<R->

  Por isso, os tringulos laranja e vermelho so congruentes. 
<114>

Experincia 2 

  Observe os tringulos _`[no representados_`]. 
  Eles so tringulos retngulos e issceles. Use rgua e transferidor e verifique que: 
<R+>
 em cada tringulo um ngulo mede 90 e dois ngulos medem 45. 
 os lados do ngulo reto medem: 2 cm no amarelo, 1 cm no mar-
<p>
  rom, 3 cm no roxo e 3 cm no verde. 
<R->
  Repita os procedimentos descritos na experincia 1, usando como 
modelo os tringulos retngulos e issceles. 

<R+>
_`[{um professor pergunta para a turma: "Vocs conseguiram encontrar algum par de tringulos coincidentes?". Um menino responde: "Hummm... os tringulos roxo e verde podem ser ajustados certinho um sobre o outro, porque os dois tm ngulos com medidas iguais `(90, 45, 45`) e lados com medidas iguais: 3 cm, 3 cm e 4,2 cm."_`]
<R->

  Por isso, os tringulos roxo e verde so congruentes. 

Experincia 3 

  Observe os tringulos _`[no representados_`].
<p>
  Eles so tringulos escalenos. Medindo seus lados e ngulos com rgua e transferidor, notamos que: 
<R+>
 todos tm um lado de 3 cm e outro de 2 cm; 
 o ngulo formado por esses dois lados  de: 90 no azul, 60 no laranja, 120 no verde e 20 no vermelho. 
<R->
  Repita mais uma vez os procedimentos descritos na experincia 1. 

<R+>
_`[{um professor pergunta: "E agora? H algum par de tringulos coincidentes?"_`]
<R->
<115>

  A resposta  no, porque o terceiro lado deles  diferente (veja: *x*, *y*, *z*, *t*), como consequncia dos ngulos diferentes `(90, 60, 120, 20`). Por isso, nesse conjunto no h dois tringulos congruentes entre si. 
<p>
<R+>
_`[{um professor pergunta para a turma: "Como vocs fariam para 
  encontrar quatro tringulos, respectivamente congruentes a cada um desses tringulos?"_`]

1 Em uma folha avulsa, copie os quatro tringulos escalenos, pinte-os e recorte-os. 
 2 Em seguida, sobreponha-os para encontrar os pares congruentes. 
<R->
  Cada tringulo _`[no representado_`] desta coleo _`[experincia 3_`]  uma cpia idntica de um tringulo da coleo _`[experincia 2_`]. Por isso, os tringulos pintados com a mesma cor nas duas sries so congruentes. 

Conceito matemtico de 
  congruncia 

  Observe os tringulos {a{b{c e {d{e{f: 
<p>
<F->
         A 3 cm B    
         pccccccccm     
         l            
         l             
         l             
4,5 cm  l      
         l             
         l             
         l   5,5 cm     
         l            
         a              
         C            
<F+>

<F->
         D 3 cm E   
         pccccccccm    
         l             
         l             
         l             
4,5 cm  l      
         l            
         l            
         l   5,5 cm     
         l             
         a              
         F            
<F+>
<p>
   possvel "deslocar" o tringulo {a{b{c at fazer com que seus lados coincidam com os lados do tringulo {d{e{f. 
<116>
  Tambm  possvel estabelecer uma correspondncia entre os vrtices (veja as trajetrias descritas pelos vrtices do tringulo {a{b{c at coincidirem com os vrtices do tringulo {d{e{f) e verificar que: 
<R+>
<F->
 os lados correspondentes (ou homlogos) so congruentes: 
^c?{a{b*==^c?{d{e*
^c?{b{c*==^c?{e{f*
^c?{a{c*==^c?{d{f*
 os ngulos correspondentes so congruentes: 
:{a==:{d 
:{b==:{e 
:{c==:{f 
<F+>
<R->
  Por isso, dizemos que os tringulos {a{b{c e {d{e{f so congruentes. Indicamos: 
 {a{b{c=={d{e{f
<p>
  Para indicar as congruncias, _`[em tinta_`] marcamos tracinhos para os lados e arquinhos para os ngulos, como nas figuras _`[no representadas_`].
<R+>
 Nmero igual de tracinhos indica lados congruentes. 
 Nmero igual de arquinhos indica ngulos congruentes. 
<R->

  Dois tringulos so congruentes quando os lados e os ngulos de um 
deles so respectivamente congruentes aos lados e aos ngulos do outro. 

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 83 a 88, pea orientao ao professor_`]

83. Sabendo que os tringulos {x{y{z e {r{s{t so congruentes, 
<p>
  escreva as seis congruncias decorrentes: 
<R->

<F->
   X         R
            
             
              
------u   ------u
Y    Z   S    T
<F+>

<117>
<R+>
84. Os tringulos {a{b{c e {c{d{e da figura so congruen-
  tes. Quais os elementos de medidas respectivamente iguais? 
<R->

<F->
A         C        E
ccccccccccmccccccccccm
      1   2     
                 
                
               
              
     B         D
<F+>

<R+>
85. Na figura a seguir, o tringulo {a{b{c  congruente ao tringulo {d{e{c. Sabendo que :{a=3x, :{b=y+48, :{e=5y e :{d=2x+10, determine *x* e *y*. 
<R->

<F->
         E
         
         _
         _ 
         _  
         _   
         _    
      C _     
A ccccccccccc D
        _
        _
        _
        _
        _
         
         B
<F+>

<R+>
<F->
86. Os tringulos {a{b{c e {e{d{c da figura _`[no representada_`] so congruentes. Quais os elementos de medidas respectivamente iguais? 
<p>
87. Os tringulos {a{b{c e {m{n{p _`[no representados_`] so congruentes. Escreva as seis congruncias decorrentes. 
88. Na figura, o tringulo {a{b{d  congruente ao tringulo {c{b{d. Sabendo que {a{b=x, {b{c=2y, {c{d=3y+8 e {d{a=2x, calcule *x* e y.
<F+>
<R->

<F->
     D 
     #
    _  
    _  
    _   
    _    
----#-----u
A   B   C
<F+>

Casos de congruncia 

  O conceito matemtico de congruncia de tringulos estabelece que dois tringulos so congruentes quando: 
<R+>
 cada lado de um dos tringulos  congruente ao seu correspondente (ou homlogo) no outro; 
<p>
 cada ngulo de um tringulo  congruente ao seu correspondente (ou homlogo) no outro. 
<R->
  Portanto, devem ocorrer seis congruncias: 
<R+>
 trs congruncias entre os lados; 
 trs congruncias entre os ngulos. 
<R->
  Costuma-se indicar isso, simbolicamente, assim: L, L, L e A, A, A em que: L indica que um lado de um tringulo  congruente a um lado do outro; A indica que um ngulo de um tringulo  congruente a um ngulo do outro. 
<118>
  Seria muito trabalhoso concluir que dois tringulos so congruentes, empregando apenas o conceito  
de congruncia, pois teramos de constatar seis congruncias (trs congruncias entre lados e trs entre ngulos). Felizmente  possvel reduzir bastante o trabalho graas aos casos de congruncia. 
<p>
  Os casos de congruncia so quatro propriedades que permitem concluir que dois tringulos so congruentes a partir de apenas trs determinadas congruncias (entre lados ou entre ngulos). 

Caso {l{a{l (Lado -- ngulo -- 
  Lado) 

  Se dois tringulos possuem dois lados e o ngulo compreendido entre eles respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes. 

  Essa propriedade estabelece que, se um tringulo {a{b{c e um 
tringulo {p{q{r apresentam: 
<R+>
^c?{a{b*==^c?{p{q*, :{a==:{p e ^c?{a{c*==^c?{p{r*.
<R->
  Ento o terceiro lado e os dois ngulos restantes tambm so respectivamente congruentes: 
<R+>
:{b==:{q, ^c?{b{c*==^c?{q{r* e :{c==:{r.
<R->
<p>
  E, consequentemente, os tringulos so congruentes: 
{a{b{c=={p{q{r

_`[{tringulos no representados_`]

Construo 9
 
Tringulo com ngulo de 60 

  Usando rgua, compasso e transferidor, vamos construir um tringulo {a{b{c, conhecendo as medidas de dois lados `({a{b=45 mm e {a{c=28 mm`) e a medida do ngulo compreendido entre eles `(:{a=60`). 
<R+>
<F->
1- Traamos um segmento ^c?{a{b* medindo 45 mm. 
<119>
2- Com o transferidor, construmos um ngulo de 60 com vrti-
  ce A, um lado ^c?{a{b* e outro Ar. 
<p>
3- Marcamos C na semirreta Ar, de modo que ^c?{a{c* mea 28 mm. 
4- Traamos o segmento ^c?{b{c*. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Conforme o caso LAL, qualquer outro tringulo que tenha lados com 45 mm e 28 mm e formando um ngulo de 60 ser congruente ao tringulo {a{b{c que acabamos de construir. 

Caso {a{l{a (ngulo -- Lado --
  ngulo) 

  Se dois tringulos possuem um lado e os dois ngulos a ele adjacentes respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes. 
<120>
<p>
  Essa propriedade estabelece que, se um tringulo {a{b{c e outro tringulo {r{s{t apresentam: 
<R+>
<F->
:{b==:{s, ^c?{b{c*==^c?{s{t* e :{c==:{t.
<F+>
<R->
  Ento o terceiro ngulo e os dois lados restantes tambm so respectivamente congruentes: 
<R+>
<F->
^c?{a{b*==^c?{r{s*, :{a==:{r, e ^c?{a{c*==^c?{r{t* e, consequentemente, os tringulos so congruentes: 
{a{b{c=={r{s{t
<F+>
<R->

_`[{figuras no representadas_`]

Construo 10 

<R+>
Tringulo com ngulos de 30 e 45 
<R->

  Com rgua, compasso e transferidor, vamos construir um tringulo {a{b{c, conhecendo a medida de 
<p>
um lado `({b{c=45 mm`) e as medidas dos ngulos a ele adjacentes `(:{b=30 e :{c=45`). 
<R+>
<F->
1- Traamos um segmento ^c?{b{c* medindo 45 mm. 
2- Construmos um ngulo de 30 com vrtice B, um lado ^c?{b{c* e outro {bb. 
3- Construmos um ngulo de 45 com vrtice C, um lado ^c?{c{b* e outro {cc. As semirretas Bb e Cc, construdas do mesmo lado da reta ~:,?{b{c*, se cruzam em A.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<121>
  Conforme o caso ALA, qualquer outro tringulo que tenha um lado com 45 mm e ngulos adjacentes a esse lado de 30 e 45 ser congruente ao tringulo {a{b{c que acabamos de construir. 
<p>
Caso {l{l{l (Lado -- Lado -- 
  Lado) 

  Se dois tringulos possuem os trs lados respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes. 

  Essa propriedade estabelece que, se um tringulo {a{b{c e outro {m{n{p apresentam: 
<R+>
<F->
^c?{a{b*==^c?{m{n*, ^c?{b{c*==
  ==^c?{n{p* e ^c?{a{c*==^c?{m{p*.
<F+>
<R->
  Ento os trs ngulos tambm so respectivamente congruentes: 
<R+>
<F->
:{a==:{m, :{b==:{n e :{c==
  ==:{p e, consequentemente, os tringulos so congruentes: 
{a{b{c=={m{n{p
<F+>
<R->

_`[{figuras no representadas_`]

  J vimos na Construo 8 como construir um tringulo conhecendo as medidas dos seus lados.
<p>
<R+>
Caso {l{a{ao (Lado -- ngulo adjacente -- ngulo oposto) 
<R->

  Se dois tringulos possuem um lado, um ngulo adjacente e o ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes. 

  Essa propriedade estabelece que, se dois tringulos {a{b{c e {x{y{z apresentam: 
<R+>
^c?{b{c*==^c?{y{z*, :{b==:{y e :{a==:{x. 
<R->
  Ento o ngulo restante e os dois lados restantes tambm so respectivamente congruentes: 
<R+>
:{c==:{z, ^c?{a{b*==^c?{x{y* e ^c?{a{c*==^c?{x{z* e, consequentemente, os tringulos so congruentes: 
 {a{b{c=={x{y{z
<R->
_`[{figuras no representadas_`]

<122>
<p>
Construo 11
 
Outro tringulo com ngulos 
  de 30 e 45 

  Usando rgua, transferidor e compasso, vamos construir um tringulo {a{b{c, conhecendo a medida de um lado `({b{c=40 mm`) e as medidas de um ngulo adjacente a esse lado 
`(:B=30`) e do ngulo oposto `(:{a=45`). 
<R+>
<F->
1- Traamos um segmento ^c?{b{c* com 40 mm. 
2- Construmos um ngulo de 30 com vrtice B, um lado ^c?{b{c* e outro {bb. 
3- Construmos um ngulo de 180-30-45 (ou seja, 105) com vrtice C, um lado ^c?{c{b* e outro {cc. As semirretas {bb e {cc, construdas do 
<p>
  mesmo lado da reta ~:,?{b{c*, se cruzam em A. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Conforme o caso {l{a{ao, qualquer outro tringulo que tenha um lado com 40 mm, um ngulo 
adjacente a esse lado de 30 e o ngulo oposto de 45 ser congruente ao tringulo {a{b{c que acabamos de construir. 

Caso especial: tringulos 
  retngulos 

  No tringulo retngulo, o lado oposto ao ngulo reto  chamado hipotenusa, e os outros dois lados (que formam o ngulo reto) so chamados catetos. 
  Vamos agora ver o caso especial: cateto-hipotenusa. 

  Se dois tringulos retngulos possuem um cateto e a hipotenusa respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes. 
<123>

  Essa propriedade estabelece que, se dois tringulos retngulos 
{a{b{c (com :A=90) e {d{e{f (com :D=90) apresentam: 
<R+>
 ^c?{a{b*==^c?{d{e* e ^c?{b{c*==
  ==^c?{e{f*.
<R->
  Ento o outro cateto e os dois ngulos restantes tambm so respectivamente congruentes: 
<R+>
 ^c?{a{c*==^c?{d{e*, :{b==:{e e :{c==:{f e, consequentemente, os tringulos so congruentes: 
 {a{b{c=={d{e{f
<R->

_`[{figuras no representadas_`]

Construo 12 

Tringulo retngulo 

  Vamos construir, com rgua, compasso e transferidor, um tringulo retngulo {a{b{c, conhecendo 
<p>
as medidas de um cateto `({a{b=25 mm`) e da hipotenusa `({b{c=55 mm`): 
<R+>
<F->
1- Construmos um ngulo reto :?b{ac*.
2- Na semirreta {ab, marcamos o ponto B de modo que {a{b=25 mm. 
<124>
3- Fincamos a ponta-seca do compasso em B e, com abertura 
  55 mm, traamos um arco que encontra a semirreta {ac em C. 
4- Ligamos B com C. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 89 a 94, pea orientao ao professor_`]

89. Cada item apresenta seis tringulos. Indique os 
<p>
  pares de tringulos congruentes e o caso que justifica a congruncia. 

_`[{figuras no representadas_`]
<125>

90. Em cada item os dois tringulos so congruentes. Indique o critrio de congruncia utilizado e, em seguida, calcule *x*. 

_`[{figuras no representadas_`]

91. Na figura _`[no representada_`], os tringulos {a{b{c e {c{d{a so congruentes. Sabendo que :?{b{a{c*=120, :?{c{a{d*=27, :?{b{c{a*=3y e :?{a{c{d*=2x, determine *x* e *y*. 
92. Em cada item os dois tringulos so congruentes. Qual  o critrio de congruncia utilizado? Quanto vale *x*? 

_`[{figuras no representadas_`]
<126>
<p>
93. Na figura _`[no representada_`], o tringulo {p{c{d  congruente ao tringulo {p{b{a. Sabendo que {a{b=15, {c{d=
  =x+5, {a{p=2y+17 e {p{d=
  =3y-2, calcule *x* e *y*. 
94. Os tringulos {a{b{d e {c{b{d _`[no representados_`], so congruentes. Sabendo que {a{b=x, {a{d=10, {b{c=5 e {c{d=3y+1, calcule *x* e *y*. 
<F+>
<R->

Desafio 

Tringulo invertido 

  Movendo apenas trs moedas, faa com que o tringulo fique com a base para cima e o vrtice oposto para baixo (enfim, que fique em posio contrria  dada a seguir). 

<R+>
_`[{imagem de dez moedas dispostas em quatro fileiras. De baixo para cima, na primeira, foram colocadas lado a lado quatro moedas; na segunda, trs moedas, na terceira, duas moedas e, na ltima, uma moeda, formando um tringulo_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<127>
<P>
Captulo 11- Pontos notveis 
  do tringulo 

Medianas e baricentro 

  Num tringulo {a{b{c, marquemos M1, ponto mdio do lado ^c?{b{c*. 

<F->
          A
          
           
            
             
              
               
                
B j:::w::o::w:::h C
         M1

<F+>
  Tracemos o segmento ^c?{a{m*1: 

_`[{figura no representada_`]

  O segmento ^c?{a{m*1  uma mediana do tringulo {a{b{c. 

  Mediana de um tringulo  um segmento com extremidades num vrtice e no ponto mdio do lado oposto. 

  Um tringulo tem trs medianas. Na figura _`[no representada_`], as trs medianas so: 
<R+>
 ^c?{a{m*1, mediana relativa ao lado ^c?{b{c* ou ao vrtice A; 
 ^c?{b{m*2, mediana relativa ao lado ^c?{a{c* ou ao vrtice B; 
 ^c?{c{m*3, mediana relativa ao lado ^c?{a{b* ou ao vrtice C. 
<R->
 
  As trs medianas de um tringulo encontram-se num ponto chamado baricentro do tringulo. 

  Na figura _`[no representada_`], G  o baricentro do tringulo {a{b{c. 
<128>
<p>
Bissetrizes e incentro 

  Num tringulo {a{b{c, tracemos a bissetriz As, relativa ao ngulo :A. Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado ^c?{b{c*. 

_`[{figura no representada_`]

  Destaquemos o segmento ^c?{a{s*1. O segmento ^c?{a{s*1  uma bissetriz do tringulo {a{b{c. 
  Observe que: 
<R+>
 o segmento ^c?{a{s*1 est contido na semirreta As (bissetriz do ngulo :A); 
 {s1  a interseo do lado ^c?{b{c* com a bissetriz do ngulo :A.
<R->
 
  Bissetriz de um tringulo  um segmento com extremidades num vrtice e no lado oposto e que divide o ngulo desse vrtice em dois ngulos congruentes. 

  Um tringulo tem trs bissetrizes. Na figura _`[no representada_`], as trs bissetrizes so: 
<R+>
 ^c?{a{s*1, bissetriz relativa ao lado ^c?{b{c* ou ao vrtice A;
 ^c?{b{s*2, bissetriz relativa ao lado ^c?{a{c* ou ao vrtice B; 
 ^c?{c{s*3, bissetriz relativa ao lado ^c?{a{b* ou ao vrtice C. 
<R->

  As trs bissetrizes de um tringulo encontram-se num ponto chamado incentro do tringulo. 

  Na figura, S  o incentro do tringulo {a{b{c. 

Alturas e ortocentro 

  Num tringulo {a{b{c, tracemos pelo ponto A uma reta *r* perpendicular  reta que contm o lado ^c?{b{c*. 
<p>
  Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta *r* com a reta ~:,?{b{c*: 

<F->
          A
          
         _ 
         _  
         _   
         _    
         _     
       _-_      
B j::::::w:::::::h C
          _ H1
          _
          _ r

<F+>
  Destaquemos o segmento ^c?{a{h*1:
<p>
<F->
          A
          
         _ 
         _  
         _   
         _    
         _     
         __-    
B j::::::w:::::::h C
          H1   
<F+>

<129>
  O segmento ^c?{a{h*1  uma altura do tringulo {a{b{c. 
  O ponto H1  a interseo da reta ~:,?{b{c* com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 tambm  chamado p da altura. 

  Altura de um tringulo  o segmento perpendicular  reta suporte de um lado, com extremidade 
nessa reta e no vrtice oposto a esse lado. 
<p>
  Um tringulo tem trs alturas.

_`[{figura no representada_`]

  Nas figuras _`[no representadas_`], as trs alturas so: 
<R+>
 ^c?{a{h*1, altura relativa ao lado ^c?{b{c* ou ao vrtice A; 
 ^c?{b{h*2, altura relativa ao lado ^c?{a{c* ou ao vrtice B; 
 ^c?{c{h*3, altura relativa ao lado ^c?{a{b* ou ao vrtice C. 
<R->

  As trs alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do tringulo. 

  Nas figuras, H  o ortocentro do tringulo {a{b{c, o qual pode ser interno ao tringulo (quando  
o tringulo {a{b{c  acutngulo) ou externo ao tringulo (quando o tringulo {a{b{c  obtusngulo). 
<p>
Mediatrizes e circuncentro 

  Num tringulo {a{b{c, tracemos a reta m1 perpendicular ao lado ^c?{b{c* e passando por M1, ponto mdio de ^c?{b{c*: 

<F->
          A
          
           
            
             
         _    
         _     
         _      
B j::::::o::::::h C
          _ M1   
          _
          _ m1
<F+>

  A reta m1  a mediatriz do lado ^c?{b{c*. 
<130>

  Um tringulo tem trs mediatrizes de lados. Na figura _`[no 
<p>
representada_`], as trs mediatrizes so: 
 m1, mediatriz de ^c?{b{c*; 
 m2, mediatriz de ^c?{a{c*; 
 m3, mediatriz de ^c?{a{b*. 

  As trs mediatrizes dos lados de um tringulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do tringulo. 

  Na figura _`[no representada_`], O  o circuncentro do tringulo {a{b{c. 

Exerccios

<R+>
<F->
95. Relacione corretamente as duas colunas: 
1 coluna:
a) ponto de encontro das medianas de um tringulo 
b) ponto de encontro das bisse-
  trizes de um tringulo 
c) ponto de encontro das retas suportes das alturas de um tringulo 
<p>
d) ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um tringulo 
2 coluna:
I. incentro 
II. circuncentro 
III. baricentro 
IV. ortocentro 

_`[{para os exerccios 96 a 122, pea orientao ao professor_`]

96 Na figura _`[no representada_`], M  o ponto mdio de ^c?{a{c*. 
  Identifique: 
a) uma mediana  
b) uma bissetriz 
c) uma altura 
d) uma mediatriz 

  Os exerccios 97 a 105 devem ser resolvidos usando rgua, compasso e transferidor. 

97. Construa um tringulo com lados 3 cm, 3,5 cm e 4 cm. Trace as trs medianas e indique o baricentro. 
98. Construa um tringulo com lados 4 cm, 5 cm e 6 cm. Trace as trs bissetrizes e indique o incentro. 
99. Obtenha o incentro de um tringulo que tem um ngulo de 60, outro de 30 e cujo lado comum a esses ngulos mede 5 cm. 
100. Construa um tringulo com lados 8 cm, 9 cm e 10 cm. Trace as trs alturas e indique o ortocentro. 
101. Construa o ortocentro de um tringulo que tem um lado de 6 cm, o ngulo oposto que mede 60 e um ngulo adjacente de 90. 
<131>
102. Encontre o circuncentro de um tringulo equiltero com 4 cm de lado. 
103. Construa um tringulo com lados 5 cm e 6 cm, que formem entre si um ngulo de 60. Trace as trs mediatrizes e determine o circuncentro. 
<p>
104. Os lados de um tringulo {a{b{c medem {a{b=2,5 cm, {a{c=7 cm e {b{c=5,5 cm. Construa o tringulo e, em 
  seguida, obtenha a mediana ^c?{a{m*1, a bissetriz ^c?{a{s*1 e a altura ^c?{a{h*1. 
105. Um tringulo {d{e{f  retngulo em D e seus catetos medem {d{e=4 cm e {d{f=5 cm. Obtenha o incentro, o ortocentro e o circuncentro desse tringulo. 
106. Na figura _`[no representada_`], ^c?{a{m*  mediana. Calcule os lados do tringulo. 
107. No tringulo {a{b{c _`[no representado_`], em que :{b=80 e :{c=60, ^c?{a{s*  bissetriz. Determine o ngulo x=:?{b{a{s*.
108. No tringulo a seguir, retngulo em A `(:{a=90`), ^c?{a{h*  altura. Determine *x*, *y* e *z*.
<F+>
<R->
<p>
<F->
          A
          
         _ 
         _  
        y_ z 
         _    
         _     
     x   __-    
B j::::::j:::::::h C
          H

:C=30

<F+> 
<R+>
<F->
109. Em um tringulo {g{h{i 
  _`[no representado_`], :{i=30, e a bissetriz ^c?{g{s* forma com o lado ^c?{g{h* um ngulo de 55. Calcule o ngulo :{h.
110. Na figura _`[no representada_`], I  o incentro do trin-
  gulo {a{b{c. Sabendo que :?{b{i{c*=8x e x=:{a, determine *x*.
<132>
111. Quanto mede o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos agudos de um tringulo retngulo? 
<p>
112. No tringulo {r{s{t _`[no representado_`], ^c?{r{p*  bissetriz. Determine *x*, *y*, *z* e *t*. 
113. No tringulo {a{b{c _`[no representado_`], retngulo em A, ^c?{a{h*  altura, e ^c?{a{s*  bissetriz. Calcule *x*, *y* e *z*. 
114. No tringulo {a{b{c _`[no representado_`], ^c?{a{h*  altura, e ^c?{a{s*  bissetriz. Determine *x*. 

115. Um tringulo {a{b{c  retngulo em :{a, e :{c mede 
  20. Sendo ^c?{a{h* uma altura e ^c?{a{s* uma bissetriz, calcule: 
a) o ngulo que ^c?{a{s* forma com o cateto ^c?{a{c*;  
b) o ngulo que ^c?{a{h* forma com o cateto ^c?{a{b*;  
c) o ngulo de ^c?{a{s* com ^c?{a{h*. 
<p>
116. Um tringulo {r{s{t  retngulo em :{r. A altura ^c?{r{p* forma com a bissetriz ^c?{r{q* um ngulo de 15. Determine os ngulos :{s e :{t do tringulo. 
117.  dado um tringulo {j{k{l  com :{k=50 e :{l=80. Determine os ngulos que a bis-
  setriz ^c?{j{s* forma com o lado ^c?{j{k* e com o lado ^c?{k{l*. 

_`[{figura no representada_`]

<133>
118. Um tringulo {m{n{o tem :{o=30, e a bissetriz ^c?{m{s* forma com o lado 
  ^c?{n{o* um ngulo de 55. Determine a medida de :{n. 
119. Um tringulo {p{q{r tem :{q=120 e :{r=20. Quanto mede o ngulo que a altura ^c?{p{h* forma com a bissetriz ^c?{p{s*?  
120. No tringulo {a{b{c _`[no representado_`], ^c?{a{s*1 e ^c?{b{s*2 so bissetrizes. Determine *x*. 
121. Um tringulo {t{u{v tem :{u=60. A altura ^c?{t{h* e a bissetriz ^c?{t{s* formam um ngulo de 10. Determine os ngulos :{t e :{v do tringulo. 
122. Um tringulo {w{x{y tem :{w=80 e :{z=40. Determine o ngulo agudo formado pelas bissetrizes ^c?{w{s*1 e ^c?{x{s*2.
<F+>
<R->

Desafio 

Quadrado mgico 

  Voc sabe o que  um quadrado mgico?  uma tabela quadrada preenchida apenas com nmeros em que a soma em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal  a mesma. 
  Copie no seu caderno o quadrado a seguir e complete-o com os nmeros de 5 a 16, de modo que a 
<p>
soma dos nmeros de cada linha, de 
cada coluna e de cada diagonal seja igual a 34. 

<F->
!::::: !::::: !::::: !:::::
l 1  _ l ''' _ l ''' _ l ''' _
h:::::j h:::::j h:::::j h:::::j
!::::: !::::: !::::: !:::::
l ''' _ l ''' _ l 2  _ l ''' _
h:::::j h:::::j h:::::j h:::::j
!::::: !::::: !::::: !:::::
l ''' _ l 3  _ l ''' _ l ''' _
h:::::j h:::::j h:::::j h:::::j
!::::: !::::: !::::: !:::::
l ''' _ l ''' _ l ''' _ l 4  _
h:::::j h:::::j h:::::j h:::::j
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
<134>
<p>
Captulo 12- Tringulos 
  issceles/Tringulos 
  equilteros

Tringulos issceles 

  Tringulo issceles  um tringulo que tem dois lados congruentes. 

<R+>
_`[{andando por um espao onde tem uma parede com o desenho de vrios tringulos, um menino pensa: "Como se define um tringulo issceles?"_`]
<R->

  O lado no congruente  chamado base, e o ngulo oposto  base  chamado ngulo do vrtice. 
  Observe estes elementos no tringulo {a{b{c a seguir: 
<p>
<F->
     A
     
      
       
        
         
----------u
B        C
<F+>

<R+>
 lados congruentes: ^c?{a{b*==
  ==^c?{a{c* 
 base: ^c?{b{c* 
 ngulo do vrtice: :A 
<R->

Propriedades dos tringulos 
  issceles 

  Num tringulo issceles de base ^c?{b{c*, traamos a bissetriz do ngulo :A e chamemos de P o ponto em que ela encontra a base ^c?{b{c*. Depois, decompomos o 
tringulo {a{b{c em dois outros: 
tringulo {a{b{p e tringulo {a{c{p. 
<p>
<F->
     A
     
    _ 
    _  
   r_ s 
    _    
----#-----u
B   P   C

     A  A
        
    _   l
    _   l 
   r_   ls 
    _   l   
----#   v----u
B  P   P  C

<F+>
  Os tringulos {a{b{p e {a{c{p so congruentes pelo caso {l{a{l, pois: 
<R+>
<F->
[L] ^c?{a{b*==^c?{a{c* (porque {a{b{c  issceles) 
[A] :r==:s (porque ^c?{a{p*  bissetriz de :A) 
<p>
[L] ^c?{a{p*==^c?{a{p* (porque ^c?{a{p*  lado comum aos dois tringulos). 
<F+>
<R->
  Da congruncia {a{b{p==
 =={a{c{p, podemos concluir que :B==:C. 

  Em qualquer tringulo issceles, os ngulos da base so congruentes. 
<135>
  
  Da congruncia {a{b{p==
 =={a{c{p, tambm podemos concluir que ^c?{b{p*==^c?{p{c*, ou seja, P  ponto mdio do lado ^c?{b{c* e, em consequncia, ^c?{a{p*  uma mediana. 

  Em qualquer tringulo issceles, a bissetriz do ngulo do vrtice  tambm mediana relativa  base. 
  
  Finalmente, da congruncia {a{b{p=={a{c{p podemos concluir que :?{b{p{a*==:?{c{p{a*. 
<p>
Como a soma desses dois ngulos  180 (porque B, P e C esto alinhados), deduzimos que :?{b{p{a*==:?{c{p{a*=90. Dessa forma, ^c?{a{p*  perpendicular a ^c?{b{c* e, em consequncia, ^c?{a{p*  uma altura. 

  Em qualquer tringulo issceles, a bissetriz do ngulo do vrtice  tambm altura relativa  base. 

  Em resumo, se o tringulo {a{b{c  issceles de base ^c?{b{c* e P  o ponto mdio da base, ento: 
<R+>
 :{b==:{c 
 ^c?{a{p*  mediana, altura e bissetriz. 
<R->
<p> 
<F->
       A
       
      _ 
      _  
     r_ s 
      _    
      _     
    _-__-    
------o------u
B     P     C
<F+>

Propriedade recproca 

  Vamos pensar, agora, num tringulo {a{b{c que tenha dois ngulos congruentes `(:{b==:{c`). 

<F->
     A
     
      
       
        
         
----------u
B        C
<F+>
<p>
  Tracemos a bissetriz ^c?{a{p* do ngulo :A e vamos decompor o tringulo {a{b{c em dois outros: {a{b{p=={a{c{p. 

<F->
       A
       
      _ 
      _  
     r_ s 
      _    
      _     
      _      
------o------u
B     P     C

  Os tringulos {a{b{p e {a{c{p so congruentes pelo caso {l{a{ao, pois: 
<R+>
<F->
[L] ^c?{a{p*==^c?{a{p*
[A] :r==:s (porque ^c?{a{p*  bissetriz de :{a) 
[Ao] :{b==:{c (hiptese admitida). 
<F+>
<R->
<p>
<F->
       A A
         
      _  l
      _  l 
     r_  ls 
      _  l   
      _  l    
    _-_  l_-   
------#  v------u
B    P  P    C
<F+>

  Da congruncia {a{b{p==
 =={a{c{p, podemos concluir que ^c?{a{b*==^c?{a{c*, ou seja, o tringulo {a{b{c  issceles de base ^c?{b{c*. 

  Se um tringulo possui dois ngulos congruentes, ento esse  um tringulo issceles. 
<136>

Propriedades dos tringulos 
  equilteros 

  Vamos considerar um tringulo equiltero {a{b{c e chamar de ^c?{a{p* e ^c?{b{q* duas medianas. 
<p>
  Como ^c?{a{b*==^c?{a{c*, esse tringulo  issceles de base ^c?{b{c*; logo: 
 :{b==:{c 
<R+>
 ^c?{a{p*  mediana, altura e bissetriz. 
<R->
  Como ^c?{a{b*==^c?{b{c*, esse tringulo tambm  issceles de base ^c?{a{c*; logo: 
 :{a==:{c 
<R+>
 ^c?{b{q*  mediana, altura e bissetriz. 
<R->
  Em resumo, se o tringulo {a{b{c  equiltero e os pontos mdios de seus lados so P, Q e R, ento: 
 :{a==:{b==:{c; 
<R+>
 ^c?{a{p*, ^c?{b{q* e ^c?{c{r* so medianas, alturas e bissetrizes; 
 G  baricentro, ortocentro e incentro. 
<R->

  Todo tringulo equiltero  equingulo. 
<p>
  Tambm vale a recproca: 

  Todo tringulo equingulo  equiltero. 

Exerccios

<R+>
<F->
123. Determine quanto medem os lados congruentes de um tringulo issceles, se: 
a) a base mede 6 cm e o permetro  36 cm;  
b) a base mede 8 cm e o permetro  32 cm; 
c) a base  metade de um dos outros lados e o permetro  25 cm. 

124. Nas figuras a seguir, o tringulo {a{b{c  issceles de base ^c?{b{c*. Determine *x*. 
<F+>
<R->

a) _`[{figura no representada_`]

<F->
^c?A{b*=12
^c?A{c*=5x-3
^c?B{c*=x
<F+>
<p>
b) _`[{figura no representada_`]

<F->
^c?A{b*=2x-5
^c?A{c*=x+7
^c?C{b*=x
<F+>

<R+>
<F->
125. Calcule o permetro de um tringulo issceles, sabendo que a base mede 5 cm e cada um dos outros lados  o dobro da base.  

126. Nas figuras a seguir, o tringulo {a{b{c  issceles com ^c?{a{b*==^c?{a{c*. Calcule *x* e *y*. 
<F+>
<R->
a)
<F->
       A
       
        
       y 
          
           
            
  50     x 
--------------u
B            C
<p>
b)
   B
   _
   _ 
   _  
   _ x 
   _    
   _   y  A
   _     
   _    
   _   
   _  
   _ 
C _   
   _ 110
   _
   _
   _

<R+>
127. O tringulo {a{b{c _`[no representado_`]  issceles de base ^c?{a{c*. Sabendo que
  :A=x+30 e :C=2x-20, determine *x*.  
<R->
<R+>
<p>
128. O tringulo {a{b{c  issceles de base ^c?{b{c. Determine, em cada caso, o valor de *x*. 
<R->
a)
    B          C
    '------------'
      x+15   
              
             
         x  
           
          
          A

<R+>
b) _`[{figura no representada_`]
<R->

ngulo B=x
ngulo externo de C=4x
<p>
c)
<F->
       A
       
        
         
     80 
           
            
             
--------------u C
B          2x 
                 
                  
                   
                    
         
<F+>
<R+>
<F->
129. Em um tringulo issceles, um ngulo externo adjacente  base mede 130. Determine os ngulos do tringulo.
130. O tringulo {p{q{r  issceles de base ^c?{q{r*. Observe a figura e determine *x* e *y*. 
<F+>
<R->
<p>
<F->
                P
                
                 
                  
                   
                    
                     
 2x-40           y  x+45
-----------------------u--------
         Q             R
<F+>

<R+>
131. Nas figuras a seguir, segmentos com marcas iguais so congruentes. Determine *x* em cada item. 
<R->
<F->
a) {a{b=={b{c=={a{c

       C
       
        
         
          
           
             x
 ------------u-----
A            B
<F->
<p>
b) {a{b=={b{c=={a{c e {d{e=={e{f

<F->
          C                #F
                           _
                           _
                           _
                           _
                           _
                B  B     _
A --------------u----------#E
                     
                     x
                     
                      
<F+>
<p>
<R+>
132. Considerando que segmentos com marcas iguais so congruentes, determine *x* em cada figura. 
<R->
<F->
a) {a{b=={a{c

C
.
l 
l 
l                            
l                           
l                          
l                         
l                        
l_-                   x 
v--------u--------------
A      B            
                     
                    
              75 
                  
                 
                
                 
                  
                   
<p>
b) _`[{figura no representada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<138>
<R+>
<F->
133. Em um tringulo issceles de base ^c?{d{e*, ^c?{c{s*  bissetriz. Sabendo que ^c?{d{s* mede 5 cm, determine {e{s=x e o ngulo :?{c{s{d*. 

_`[{para os exerccios 134 a 138, pea orientao ao professor_`]

134. Num tringulo issceles {a{b{c _`[no representado_`], com ^c?{a{b*==^c?{a{c*, ^c?{a{m*  mediana. Se :B=40, determine os ngulos :?{m{a{c*=x e :?{a{m{b*=y.
135. Na figura _`[no representada_`], o tringulo {a{b{c  equiltero, e o tringulo {c{d{b  issceles. Calcule as medidas de :?{b{c{d* e :?{a{b{d*.
<p>
136. A figura _`[no representada_`] mostra um tringulo issceles de base ^c?{b{c*, em que :A=80. Sendo ^c?{b{d* e ^c?{c{d* bissetrizes dos ngulos :?{a{b{c* e :?{a{c{b*, respec-
  tivamente, calcule o valor de x=:?{b{d{c*.  
137. Num tringulo {a{b{c _`[no representado_`] de base ^c?{b{c* um dos ngulos da base mede 40. Determine o ngulo obtuso formado pelas bissetrizes ^c?{b{p* e ^c?{c{r*. 
138. O tringulo {a{b{c _`[no representado_`]  issceles de base ^c?{b{c* e ^c?{b{p*,  bissetriz. Calcule *x*, *y* e *z*. 
139. Usando o caso {a{l{a, prove a propriedade: "As bissetrizes relativas aos lados congruentes de um tringulo issceles so congruentes". 
140. Usando o caso {l{a{l, demonstre a propriedade: "As me-
<p>
  dianas relativas aos lados congruentes de um tringulo issceles so congruentes". 
141. Usando o caso {l{a{ao, demonstre a propriedade: "As alturas relativas aos lados congruentes de um tringulo issceles so congruentes". 
<F+>
<R->
<139>

Matemtica em notcia

<R+>
_`[{tabela "O Brasil em 
  Olmpiadas", adaptada. Obedecendo a seguinte sequncia: ano, pas, ouro, prata, bronze, total; contedo a seguir_`]
<F->
2008, Pequim, 3, 4, 8, 15;
2004, Atenas, 5, 2, 3, 10;
2000, Sydney, 0, 6, 6, 12;
1996, Atlanta, 3, 3, 9, 15;
1992, Barcelona, 2, 1, 0, 3;
1988, Seul, 1, 2, 3, 6;
1984, Los Angeles, 1, 5, 2, 8;
1980, Moscou, 2, 0, 2, 4;
1976, Montreal, 0, 0, 2, 2;
<p>
1972, Munique, 0, 0, 2, 2;
1968, Cidade do Mxico, 0, 1, 2, 3;
1964, Tquio, 0, 0, 1, 1;
1960, Roma, 0, 0, 2, 2;
1956, Melbourne, 1, 0, 0, 1;
1952, Helsinque, 1, 0, 2, 3;
1948, Londres, 0, 0, 1, 1;
1936, Berlim, 0, 0, 0, 0;
1932, Los Angeles, 0, 0, 0, 0;
1928, Amsterd, no participou;
1924, Paris, 0, 0, 0, 0;
1920, Anturpia, 1, 1, 1, 3;
1912, Estocolmo, no participou;
1908, Londres, no participou;
1906, Atenas, no participou;
1904, Saint Louis, no participou;
1900, Paris, no participou;
1896, Atenas, no participou.
<F+>
Obs.: No foi realizada Olimpada em 1916 por causa da Primeira Guerra Mundial e no 
<p>
  foram realizadas Olimpadas em 1940 e em 1944 por causa da Segunda Guerra Mundial. 
<R->

INFOGRFICO/AE 

<R+>
(*O Estado de S. Paulo*, 25/8/2008.) 
<R->
<140>

<R+>
<F->
a) Determine as quantidades de medalhas de ouro, de prata e de bronze que o Brasil ganhou em Olimpadas at 2008 e represente estes dados: 
 num grfico de barras; 
 num grfico de setores (pizza). 
b) Determine as quantidades totais de medalhas ganhas pelo Brasil em cada continente: 
  Europa, sia, frica, 
  Amrica e Oceania. Represente os dados num grfico de setores. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Teste seu conhecimento

<R+>
<F->
1. (Escola Tcnica Federal-RJ) Sejam A, B e C respectivamente as medidas do complemento, suplemento e replemento do ngulo de 40. Tm-se: 
a) A=30; B=60; C=90 
b) A=30; B=45; C=60 
c) A=320; B=50; C=140 
d) A=50; B=140; C=320 
e) A=140; B=50; C=320

  Se x+a=360, *x*  replemento de *a*.

2. (U. F. Uberlndia-MG) Dois ngulos consecutivos so complementares. Ento o ngulo 
  formado pelas bissetrizes desses ngulos : 
a) 20 
b) 30
c) 35 
d) 40
e) 45
<p>
3. (PUC-SP) Dados os tringulos {a{b{c e {a{d{c, com {a{b={c{d e {a{d={b{c, podemos concluir que o ngulo :?{a{b{c*  congruente ao ngulo: 
a) :?{b{a{c*
b) :?{a{b{d*
c) :?{a{c{d*
d) :?{c{d{a*
e) :?{d{c{b*

4. (UF-GO) Se dois lados de um tringulo medem respectivamente 3 dm e 4 dm, podemos 
  afirmar que a medida do terceiro lado : 
a) igual a 5 dm 
b) igual a 1 dm 
c) igual a 7 dm 
d) menor que 7 dm 
e) maior que 7 dm 

_`[{para os exerccios 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

5. (FGV-SP) Considere as retas *r*, *s*, *t*, *u*, todas num mesmo plano, com r_lu. 
<F+>
<R->
<F->
<p>
              t
            
  :::::::::::::::::: r
           120
         
    y  
      
20 
::::::x:::::::::::::: u
      
     x 
         
          
           
            
             
            s 

<F+>
<R+>
<F->
  O valor em graus de `(2x+3y`) : 
a) 64 
b) 500 
c) 520
d) 660 
e) 580
<p>
6. (Cesgranrio-RJ) Na figura _`[no representada_`], as retas *r* e r so paralelas, e a reta *s*  perpendicular a *t*. 
  Se o menor ngulo entre *r* e *s* mede 72, ento o ngulo ^a da figura mede: 
a) 36 
b) 32 
c) 24
d) 20
e) 18

7. (Escola Tcnica Federal-RJ) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ngulos alternos-externos 
  expressos em graus por 13x-8 e 6x+13. A medida desses ngulos vale: 
a) 31 
b) 3 ou 177 
c) 30 e 150 
d) 62 
e) 93 
<p>
8. (Cesgranrio-RJ) As retas *r* e *s* da figura so paralelas cortadas pela transversal *t*. 
<F+>
<R->

<F->
             t
           
           A
:::::::::::::::: r
        
       
      
  B 
:::::::::::::::: s
    
  
<F+>

<R+>
<F->
  Se o ngulo B  o triplo de A, ento B-A vale: 
a) 90 
b) 85  
c) 80 
d) 75 
e) 60
<p>
9. (Fuvest-SP) Na figura _`[no representada_`], {a{b={a{c, O  o ponto de encontro das bissetrizes do tringulo {a{b{c, e o ngulo :?{b{o{c*,  o triplo do ngulo :A. 
  Ento, a medida de :A : 
a) 18 
b) 12 
c) 24 
d) 36 
e) 15
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
10. (PUC-SP) Na figura a seguir a=100 e b=110. 
<R->

<F->
          
           
         x  
             
              
               
  a              b
-----------------u-----
<F+>
<p>
<R+>
<F->
  Quanto mede o ngulo *x*? 
a) 30 
b) 50 
c) 80 
d) 100
e) 220 

_`[{para os exerccios 11 a 14, pea orientao ao professor_`]

11. (Fuvest-SP) Na figura 
  _`[no representada_`], {a{b={b{d=
  ={c{d. 
  Ento: 
a) y=3x 
b) y=2x 
c) x+y=180 
d) x=y 
e) 3x=2y 

12. (UC-MG) Na figura 
  _`[no representada_`], o ngulo 
  :?{a{d{c  reto. 
  O valor, em graus, do ngulo :?{c{b{d*  de: 
a) 95 
b) 100 
<p>
c) 105 
d) 110 
e) 120 

13. (Fuvest-SP) Na figura _`[no representada_`], {a{b={a{c, {b{x={b{y e {c{z={c{y. 
  Se o ngulo A mede 40, ento o ngulo {x{y{z mede: 
a) 40 
b) 50 
c) 60 
d) 70 
e) 90

14. (UF-MG) Observe a figura _`[no representada_`]. 
  Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o maior segmento : 
a) ^c?{a{b* 
b) ^c?{a{e* 
c) ^c?{e{c* 
d) ^c?{b{c* 
e) ^c?{e{d* 
<R->
<F+>
<142> 
<p>
Desafio 

<R+>
Sujeito e predicado em 
  Matemtica? 
<R->

  Sentenas so oraes com sujeito -- o termo a respeito do qual se declara algo -- e predicado -- o que se declara sobre o sujeito. 
  A seguir h 3 expresses e 3 sentenas: 
<R+>
<F->
1- O Brasil. 
2- O Brasil  banhado pelo oceano Atlntico. 
3- Dois mais cinco. 
4- Dois mais cinco  igual a sete. 
5- O triplo de um nmero. 
6- O triplo de um nmero  igual a sessenta. 
a) Quais so as expresses?
b) Escreva simbolicamente as sentenas matemticas (aquelas que envolvem noes matemticas). 
<p>
c) Identifique o sujeito e o predicado numa das sentenas matemticas. 
<F+>
<R->
<143>

Matemtica no tempo

Origens da Geometria 

  O ser humano sempre esteve cercado por uma rica variedade de formas geomtricas fornecidas pela natureza e, desde os tempos mais remotos, j possua uma capacidade inata de perceber essas configuraes e compar-las quanto  forma e ao tamanho. 
  De modo admirvel, o homem primitivo foi capaz de transformar a percepo do espao  sua volta em uma geometria rudimentar bsica, que usou para construir moradias, tecer, confeccionar vasos e potes e para fazer pinturas e ornamentos. No entanto, essa geometria, apesar de notvel, no se apoiava em nenhuma base cientfica. 
<p>
  Muitos sculos se passaram at que o homem comeasse a estabelecer procedimentos gerais a partir de semelhanas em situaes geomtricas particulares, usando provavelmente um mtodo indutivo rudimentar (baseado na observao e experimentao). Os egpcios, por exemplo, descobriram que a rea de um retngulo  igual ao produto da medida da base pela medida da altura e, por meio dessa regra, calculavam a rea dos terrenos retangulares, indistintamente. 
  Porm, havia uma sria deficincia nesse estgio do desenvolvimento da geometria: como diferenciar procedimentos corretos de procedimentos apenas aproximados? Por exemplo, no tmulo de 
 Ptolomeu XI, rei do Egito, que morreu em 51 a.C., a rea de um quadriltero de lados consecutivos *a*, *b*, *c*, *d* em notao  
<p>
moderna  dada por 
A=`(a+c`)`(b+d`)~4. De fato, pode-se provar que essa frmula s  verdadeira para os retngulos. Mas, curiosamente, ela s vezes ainda  usada em regies rurais para o clculo da rea de terrenos quadrangulares. 
  Apesar disso, o grego Herdoto (c. 484-425 a.C.), considerado o "Pai da Histria", atribuiu a criao da geometria aos egp-
 cios. Segundo ele, a motivao foi a necessidade de medir as reas de terras perdidas com as enchentes do rio Nilo, a fim de taxar equitativamente o imposto a ser pago. Isso pelo menos explica a origem da palavra geometria, que significa "medida da terra". 
  Com o declnio do poder do Egito e da Babilnia, a Grcia assumiu a liderana intelectual do mundo antigo. E, notavelmente, com o tempo, os gregos acabaram inaugurando o padro da geometria moderna, em que a certeza de um 
<p>
resultado geomtrico deriva de uma justificativa baseada em raciocnios lgicos consistentes, e no em um processo experimental-indutivo. 
<144>
  O primeiro passo nesse sentido foi dado por Tales de Mileto (c. 585 a.C.), com a justificao de alguns resultados esparsos como, por exemplo: ngulos opostos pelo vrtice so congruentes; os ngulos da base de um tringulo issceles so congruentes. Esses resultados at j eram conhecidos na poca, mas coube a Tales a percepo de que era preciso demonstr-los (prov-los) por algum tipo de argumentao, embora se desconhea como ele raciocinou. 
  O passo seguinte foi supostamente dado por Pitgoras de 
 Samos (c. 532 a.C.) e sua escola, o qual consistiu na tentativa de organizar a teoria das retas 
<p>
paralelas por meio de um encadeamento de resultados, que eram provados a partir de alguns conceitos e pressupostos bsicos, mediante raciocnios lgicos. Pitgoras e 
sua escola teriam inaugurado, assim, o chamado *mtodo dedutivo*, que hoje fundamenta toda a Matemtica. Posteriormente, alguns matemticos escreveram obras que visavam apresentar toda a geometria pelo mtodo dedutivo. A mais antiga dessas obras preservada foi escrita pelo sbio grego Euclides -- que viveu entre os sculos IV e III a.C. -- so os *Elementos*. Composta de treze livros,  a obra matemtica mais influente de todos os tempos, tanto que s perde em edies impressas para a Bblia. Seu contedo, alm da geometria, inclui, em menor escala, aritmtica e lgebra. 
  A mais antiga cpia conhecida dos *Elementos*  um manuscrito do ano 880 d.C. e est na 
<p>
biblioteca da Universidade de Oxford, na 
Inglaterra. Vale lembrar que at a inveno da imprensa pelo alemo Johann Gutemberg, em 1450, os livros no Ocidente eram manuscritos, feitos em geral por monges copistas. Por sua importncia, os *Elementos* foram a primeira obra matemtica a ser impressa em 
 Veneza, no ano de 1482. 

<R+>
<F->
Explorando a leitura 

1. Em que, principalmente, a obra geomtrica de Pitgoras (ou de sua escola) superou a de Tales? 
2. Considere o procedimento que aparece nas inscries do tmulo do rei Ptolomeu XI para o clculo da rea de um quadriltero. Obtenha a frmula da rea de um retngulo de base *b* e altura *h* usando esse procedimento. 
<p>
3. Qual foi o grande avano da obra geomtrica de Euclides em 
  relao  de Pitgoras e sua escola? 
4. Como voc explica o fato de a mais antiga cpia conhecida dos Elementos, de Euclides, ser do 
  ano 880 e esse autor ter vivido por volta do sculo IV a.C., ou seja, mais de um milnio antes? 
5. Logo no incio dos 
  Elementos, Euclides "definiu" ponto, reta e plano, entre outras coisas. A definio de "ponto", por exemplo, dada por ele  a seguinte: "Ponto  aquilo que no tem partes". Hoje em dia, o enfoque inicial da geometria  outro. Qual? Por qu? 
<F+>
<R->

               oooooooooooo
<146>
<P>
Unidade 4 -- Estatstica

Captulo 13- Mdias 

O critrio da professora 
  Eliete 

  A professora Eliete, de Portugus, calculou as mdias de seus alunos no primeiro bimestre usando o seguinte critrio: somou as notas de trs provas com a nota de um trabalho e dividiu o resultado por 4. 
  Alexandre, que tirou 6,0, 4,5 e 7,0 nas provas e 7,5 no trabalho, ficou com que mdia? 
  Vamos calcular: 
 ?6,0+4,5+7,0+7,5*4=
  =254=6,25 
  Alexandre ficou com mdia 6,25. 
<p>
Mdia aritmtica 

  No problema proposto anteriormente foi calculada a mdia aritmtica das notas. 

  A mdia aritmtica de *n* nmeros reais  o nmero que se obtm somando os *n* nmeros e dividindo o resultado por *n*. 

  Trocando-se cada nmero pela mdia aritmtica, a soma fica preservada. Veja: 
 6,0+4,5+7,0+7,5=25 
 6,25+6,25+6,25+6,25=25 

O critrio do professor Antnio 

  O professor Antnio, de Histria, aplicou duas provas e props dois trabalhos. A mdia bimestral foi calculada assim: ele somou as notas de 
cada trabalho, multiplicadas por 2, com as notas 
<p>
de cada prova, multiplicadas por 3, e dividiu o resultado por 10. 
  Alexandre tirou 6,0 e 7,0 nos trabalhos e 4,0 e 5,0 nas provas. Com que mdia ficou? 
<147>
  Vamos calcular sua mdia: 
 ?6,02+7,02+4,03+5,0
  3*10=?12+14+12+15*10=
  =5310=5,3 
  Alexandre ficou com mdia 5,3. 

Mdia ponderada 

  Nesse ltimo problema foi calculada a mdia ponderada das notas; cada trabalho tinha peso 2 e cada prova peso 3. 

  A mdia ponderada de *n* nmeros reais  o nmero que se obtm multiplicando cada nmero pelo seu peso, somando esses produtos e dividindo o resultado pela soma dos pesos. 
<p>
O salrio mdio 

  No supermercado trabalham supervisores, caixas e auxiliares, entre outros funcionrios. 
  Se um supermercado emprega quatro supervisores, e paga a cada um R$1.900,00 por ms, 20 caixas, cujo salrio de cada um  R$1.200,00 e 40 auxiliares que ganham cada um R$650,00 por ms, quanto ganha cada empregado em mdia? 
  Queremos a mdia aritmtica de quatro nmeros iguais a 1.900, outros 20 nmeros iguais a 1.200 e 40 nmeros iguais a 650: 

<R+>
_`[4 parcelas de 1.900+20 parcelas de 1.200+40 parcelas de 650: total 64 parcelas_`]
<R->

  Ou, ento: 
 ?1.9004+1.20020+650
  40*64 
  Chegaremos ao mesmo resultado se fizermos a mdia ponderada dos nmeros 1.900, 1.200 e 650, 
<p>
com pesos 4, 20 e 40, respectivamente. 
  Fazendo os clculos, obtemos: 
 ?1.9004+1.20020+65040*
  ?4+20+40*=?7.600+24.000+
  +26.000*64=57.60064=900
  Portanto, o salrio mdio dos empregados desse supermercado  R$900,00 por ms. 

  Quando precisamos calcular a mdia aritmtica de muitos nmeros, entre os quais aparecem nmeros repetidos, podemos consider-la uma mdia ponderada, em que os pesos so a quantidade de vezes que cada um aparece. 
<148>

Vamos interpretar a mdia 

  Note que a soma de todos os salrios  R$57.600,00. Se cada empregado ganhasse R$900,00 por ms, a soma seria essa. Ou seja, a mdia R$900,00  o que cada empregado ganharia se o dinheiro 
<p>
gasto em salrios fosse dividido igualmente entre todos eles. 
  Mas, na verdade, nenhum deles ganha R$900,00 por ms. A mdia, portanto, pode ser um nmero que no ocorre na realidade. 
  Veja este outro exemplo: 
  Luana tem 3 irmos, Danilo tem 4, Renata tem 2 e Paola tem apenas 1 irmo. Em mdia, quantos irmos tem cada um? 
  Como ?3+4+2+1*4=104=
 =2,5, em mdia cada um tem 2,5 irmos. A afirmao  correta, mesmo que ningum possa ter 2,5 irmos. 

Exerccios 

<R+>
1. No grfico a seguir esto as quantidades de mquinas vendidas por uma indstria no primeiro semestre de um ano.
  Qual foi a mdia aritmtica das vendas mensais? 
<R->
<p>
<F->
60 lcccccccccccccccccc
    l                    
50 lcccccccccccccccccccc
    l                     
40 lcccccccccccc    
    l                
30 lcccccc        
    l              
20 lcc           
    l            
10 l            
    l             
 0 l------------
      jan fev mar abr mai jun  
<F+>

<R+>
<F->
2. Paulo Roberto corre diariamente por um mesmo percurso. Nas trs ltimas corridas, seus tempos foram: 55 min 40 s, 54 min 25 s e 55 min 10 s. Qual  a mdia aritmtica desses trs tempos? 
3. Durante um bimestre, o professor Humberto atribui a cada aluno quatro notas de 0 a 10. A mdia bimestral  a mdia aritmtica das quatro notas. 
<p>
  Com trs notas j conhecidas, cuja mdia aritmtica  6,0, Bia est fazendo uma previso de sua mdia bimestral. Qual ser essa mdia, no mnimo? E no mximo? 
4. Uma concessionria de veculos vendeu, num final de semana, 6 carros no valor de R$25.000,00 cada um, 10 carros de R$28.000,00, 2 carros de R$40.000,00 e 2 carros de R$60.000,00. Qual foi o valor mdio de cada carro vendido? 
5. O p de alface era vendido em janeiro por R$1,80 e em fevereiro, devido s chuvas, por R$2,40. Em janeiro, a quantidade de alface vendida foi o dobro da de fevereiro. Em mdia, por quanto cada p de alface foi vendido nesse perodo? 
<149>
6. Vamos supor que a cotao atual do dlar seja a apresentada no quadro a seguir.

Dlar turismo: R$2,00 
Dlar comercial: R$1,80 
<p>
  Comprando-se 2.000 dlares para uma viagem, 60% deles ao cmbio turismo e 40% ao cmbio comercial, quanto se paga em mdia por dlar comprado? 

7. Em um feriado prolongado, desceram para as praias do litoral paulista 150.000 carros. Se 10% dos carros tinham s o motorista, 20% tinham duas pessoas, 20% tinham trs pessoas, 30% tinham quatro pessoas e 20% tinham cinco pessoas, em mdia, quantas pessoas havia por carro? 
8. Em um curso de ingls so aplicadas trs provas: a primeira com peso 2, a segunda com peso 3 e a terceira com peso 5. Alm disso, o aluno pode 
  fazer uma prova substitutiva, que entra no lugar de qualquer uma das trs e mantm o peso da 
  prova substituda. Um aluno que tirou, respectivamente, notas 4,0, 5,0 e 6,0 e, na substi-
<p>
  tutiva, 7,6, que nota deve substituir para ficar com a maior mdia? 
<F+>
<R->

Mdia geomtrica 

  Vimos que a mdia aritmtica  o nmero que preserva a soma dos nmeros dados, isto , se cada nmero for substitudo pela mdia aritmtica, a soma deles permanecer inalterada. 
  O nmero que preserva o produto dos nmeros dados  chamado mdia geomtrica. Aqui, vamos considerar apenas nmeros positivos e, por enquanto, calcular a mdia de dois nmeros apenas. 
  Por exemplo: Qual  a mdia geomtrica de 2 e 8? Temos: 28=16. A mdia geomtrica  o nmero positivo *x* que, colocado no lugar do 2 e do 8, d o mesmo produto: 
 x.x=16 
 x2=16 
<p>
  Portanto, *x*  a raiz quadrada de 16: 
 x=16=4 
  A mdia geomtrica de 2 e 8  4. 
 28=16 e 44=16 

  A mdia geomtrica de dois nmeros reais positivos  o nmero positivo que se obtm multiplicando os nmeros dados e extraindo a raiz quadrada do produto. 

  Se quisermos a mdia geomtrica de trs nmeros, como 20, 27 e 50, por exemplo, precisamos descobrir o nmero positivo *x* na equao. 
 x.x.x=20.27.50 
 x3=27.000 
  Voc aprender a resolver equaes como essa no 9 ano. Por enquanto, fazendo tentativas ou usando decomposio em fatores primos, voc pode perceber que, 
<p>
nesse exemplo, x=30, pois 30.
 .30.30=27.000. Portanto, a mdia geomtrica de 20, 27 e 50  30. 
  Veja a seguir um exemplo de emprego de mdia geomtrica. 

<150>
Nmero de usurios da internet 

  Num pas, o nmero de usurios da internet em 2007 foi 4 vezes o de 2006 e, em 2008, foi 9 vezes o de 2007. 
  Em mdia, quanto aumentou o nmero de usurios nesses dois anos? 
  Podemos representar assim o crescimento: 
<R+>
 n.o de 20064 n.o de 20079 n.o de 2008= n.o de 200649 
<R->
  Considerando *x* o crescimento mdio ao ano: 
<R+>
 n.o de 2006x n.o de 2007x n.o de 2008= n.o de 2006xx 
<R->
  Devemos ter x2=49. Como *x*  positivo, x=6. 
<p>
  O crescimento mdio (6 vezes)  a mdia geomtrica dos dois crescimentos observados (4 vezes e 9 vezes). Portanto, o nmero de usurios aumentou em mdia, 6 vezes ao ano. 

Exerccios 

<R+>
<F->
9. Calcule a mdia geomtrica de: 
a) 9 e 16 
b) 16 e 25 
c) 15 e 60 
d) 1 e 100 

10. A mdia geomtrica  menor ou maior do que a mdia aritmtica dos nmeros dados? Verifique isso em cada item do exerccio anterior. 
11. A populao de uma cidade duplicou ao longo de uma dcada. Na dcada seguinte, ficou oito vezes maior. Em mdia, quanto aumentou por dcada essa populao? 
<p>
12. Ana Paula  uma profissional autnoma. Em um ano, ela conseguiu aumentar seus rendimentos em 100%, isto , seus rendimentos duplicaram. No ano seguinte houve mais aumento: faturou 1,28 vez o que havia faturado no ano anterior. Em mdia, quanto aumentou por ano o seu faturamento? 

13. Compare a mdia aritmtica com a mdia geomtrica de: 
a) 50 e 200 
b) 100 e 100 
<F+>
<R->
<151>

O perfil dos candidatos de 
  um concurso 

  Os inscritos em um concurso pblico responderam a um questionrio sobre o perfil dos candidatos. 

<R+>
<F->
1- Qual  o seu grau de instruo? 
a) alfabetizado, mas no frequentou escola 
<p>
b) at 5 ano do ensino fundamental 
c) do 6 ao 9 ano do ensino fundamental 
d) do 1 ao 3 ano do ensino mdio 
e) ensino superior 

2- Quantas pessoas contribuem para a renda familiar em sua casa? 
3- Quantas pessoas so sustentadas com a renda familiar? 
4- Quantos banheiros existem em sua casa? 
5- Quantos carros existem em sua casa? 
6- Quantas TV~s existem em sua casa? 
7- Quantos microcomputadores existem em sua casa? 

8- Voc acessa a internet? 
a) no 
b) sim, de casa 
c) sim, do trabalho 
<p>
d) sim, de amigos 
e) sim, de outros locais 
<F+>
<R->

  Com os questionrios preenchidos, foram elaborados tabelas e grficos e foram calculadas 
algumas medidas estatsticas a respeito dos candidatos inscritos e, posteriormente, dos aprovados. 
  Vejamos duas dessas estatsticas: 

Grau de instruo dos candidatos 
  inscritos 

<F->
:::::::::::::::::::::::::::::::
grau            _ freq.  _freq.  
                _        _relativa
::::::::::::::::w::::::::w:::::::
sem escola      _ 80    _ 5%  
1 ao 5 ano  _ 240   _ 15% 
6 ao 9 ano  _ 480   _ 30% 
ensino mdio    _ 640   _ 40% 
ensino superior _ 160   _ 10% 
soma            _ 1.600 _ 100%
::::::::::::::::j::::::::j::::::::
<F+>
<p>
<R+>
<F->
_`[{grfico de setores em forma de pizza adaptado, contedo a seguir:_`]
Sem escola: 5% 
1 ao 5 ano: 15% 
6 ao 9 ano: 30% 
Ensino mdio: 40% 
Ensino superior: 10% 
<F+>
<R->
<152>

  Na pesquisa do grau de instruo foram feitos uma tabela e um grfico de setores ("pizza"), como aprendemos nos anos anteriores. A tabela  chamada tabela de frequncias ou distribuio de frequncias. 
  Voc pode notar que frequncia  a quantidade de candidatos de cada categoria (cada grau de instruo), e frequncia relativa  a taxa porcentual da frequncia em relao ao total de candidatos. Por exemplo: 
<R+>
<F->
categoria: 6 ao 9 ano do ensino fundamental 
nmero de candidatos: 480 
<p>
total de candidatos inscritos: 1.600 
porcentagem: 4801.600100%=
  =30% 
<F+>
<R->

Quantidade de carros nas casas 
  dos candidatos inscritos 

<F->
n.o de l frequncia l frequncia
carros l            l relativa
:::::::r::::::::::::r::::::::::::
0     l 288       l 18%
1     l 608       l 38% 
2     l 352       l 22%
3     l 192       l 12%
4     l 128       l 8%
5     l 32        l 2%
:::::::r::::::::::::r::::::::::::
soma   l 1.600     l 100%
<F+>
<p>
<R+>
% de candidatos mdia =1,6 
  carros por casa
<R->

<F->
       38%
       
           22%
 18%        
             12% 8%
                 ==   2%
--------------------==--
 0    1    2    3    4   5
 n.o de carros
<F+>

  Na estatstica da quantidade de carros tambm foi feita a tabela de frequncias; o grfico apresentado  o de colunas. Alm disso,  apresentado mais um resultado: a mdia, que  de 1,6 carro por casa. Como foi calculada essa mdia? 
<p>
Clculo da mdia numa tabela 
  de frequncias 

  Em Estatstica, quando se fala em mdia sem especific-la, tra-
ta-se da mdia aritmtica. 
  Como no problema proposto so 1.600 candidatos e cada um respondeu  pergunta sobre o nmero de carros de sua casa, a mdia apresentada  a mdia aritmtica das 1.600 respostas. Mas h muitas respostas iguais. Veja: 
<F->
0 :> 288 vezes 
1 :> 608 vezes 
2 :> 352 vezes 
3 :> 192 vezes 
4 :> 128 vezes 
5 :> 32 vezes 
<F+>
  Assim, a mdia aritmtica pode ser calculada como uma mdia ponderada: toma-se cada nmero de carros com peso igual  respectiva frequncia. A soma dos pesos  a 
<p>
soma das frequncias (o que d o 
total de candidatos). 
 mdia do nmero de carros =?0
  288+1608+2352+3192+
  +4128+532*1.600=?608+
  +704+576+512+160*1.600=
  =2.5601.600=1,6  
<153>

  Numa tabela de frequncias, a mdia  calculada multiplicando-se cada nmero observado pela respectiva frequncia, somando-se esses produtos e dividindo-se o resultado pela soma das frequncias. 

  Observe que, no clculo da mdia, em lugar das frequncias podemos usar as frequncias relativas (caso j tenham sido calculadas). 
  Veja o clculo do nmero mdio de carros usando-se as frequncias relativas: 
?018+138+222+312+4
  8+52*100=?38+44+36+
  +32+10*100=160100=1,6 
<p>
  Por que uma ou outra do o mesmo resultado? 
  Observe: 
?0288+1608+2352+3192+
  +4128+532*1.600=0288
  1.600+16081.600+2352
  1.600+31921.600+4128
  1.600+5321.600=018
  100+138100+222100+
  +312100+48100+52
  100=?018+138+222+
  +312+48+52*100=1,6

Exerccios 

<R+>
14. A professora perguntou o nmero de irmos de cada aluno da 
  classe e formou a tabela a se-
  guir. Em mdia, quantos irmos tem cada aluno da classe?
<R->
<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l n.o de irmos _ n.o de alunos _
r::::::::::::::::::::::::::::::w
l 0            _ 2            _
l 1            _ 11           _
l 2            _ 16           _
l 3            _ 5            _
l 5            _ 1            _
l soma          _ 35           _
h:::::::::::::::j:::::::::::::::j
<f+>

<R+>
15. Calcule o nmero mdio de irmos de cada aluno da sua classe. 

  Os exerccios 16 a 22 referem-se  situaes das pginas 360 a 363. 

16. Use a tabela a seguir para determinar a mdia da distribuio do nmero de microcomputadores em casa por candidato. 
<R->
<p>
<F->
!:::::::::::::::::::::
l micros _ frequncia  _
r:::::::::::::::::::::w
l 0     _ 400        _
l 1     _ 1.024      _
l 2     _ 128        _
l 3     _ 48         _
l soma   _ 1.600      _
h::::::::j:::::::::::::j
<F+>

<R+>
17. A partir da tabela a seguir determine a mdia da distribui-
  o do nmero de TV~s em casa por candidato. 
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l n.o de       _ frequncia    _ 
l TV~s       _ relativa      _
r:::::::::::::::::::::::::::::w
l 1           _ 10%         _
l 2           _ 30%         _
l 3           _ 30%         _
l 4           _ 20%         _
l 5           _ 10%         _
l soma         _ 100%        _
h::::::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>
<F+>
<p>
<R+>
18. Lendo o texto, vemos que foi calculada a mdia do nmero de carros em casa por candidato. J na pesquisa sobre o grau de instruo, no foi calculada a mdia. Por qu? Que pergunta permitiria calcular uma mdia tambm na categoria "grau de instruo"? 
 19. Tabulada a distribuio do nmero de pessoas que contribuem 
  para a renda familiar, calcule a mdia por candidato. 
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l n.o de pessoas _ frequncia _
 r::::::::::::::::::::::::::::w
 l 1             _ 640       _
 l 2             _ 800       _
 l 3             _ 160       _
 l soma           _ 1.600     _
 h::::::::::::::::j::::::::::::j
<p>
<R+>
20. Calcule a mdia da distribuio do nmero de pessoas sustentadas pela renda familiar dos 
  candidatos a partir da tabela a seguir. 
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l n.o de pessoas _ frequncia _
 r::::::::::::::::::::::::::::w
 l 3             _ 192       _
 l 4             _ 640       _
 l 5             _ 576       _
 l 6             _ 128       _
 l 7             _ 64        _
 l soma           _ 1.600     _
 h::::::::::::::::j::::::::::::j

<R+>
21. Use a tabela a seguir para calcular a mdia da distribuio na categoria "nmero de banheiros em casa".
<R->
<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l n.o de         _ frequncia _
l banheiros      _ relativa   _
r::::::::::::::::::::::::::::w
l 1             _ 16%      _
l 2             _ 27%      _
l 3             _ 30%      _
l 4             _ 18%      _
l 5             _ 9%       _
l soma           _ 100%     _
h::::::::::::::::j::::::::::::j
<F+>

<R+>
22. Faa a tabela das frequncias relativas sobre "acesso  internet" e represente os dados num grfico de setores. 
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l acesso           _ frequncia _
 r::::::::::::::::::::::::::::::w
 l no acessa       _ 800       _
 l de casa          _ 560       _
 l do trabalho      _ 40        _
 l de amigos        _ 120       _
 l de outros locais _ 80        _
 l soma             _ 1.600     _
 h::::::::::::::::::j::::::::::::j
<p>
<R+>
23. No grfico a seguir esto as idades dos alunos de uma classe. Em mdia, qual  a idade dos alunos dessa classe? 
<R->

<F->
     n.o de alunos
     l
 18 lcccccc
     l      
     l      
     l      
 14 lcccccccc
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
     l        
  2 lcc    
  1 vxxxxxxxx--------
       12 13 14 15 idade 
                    (anos)
<F+>
<R+>
<p>
24. Em uma pequena empresa, com 20 funcionrios, a distribuio dos salrios  a seguinte: 
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l n.o de empregados _ salrio    _
 l                   _ `(R$`)      _
 r:::::::::::::::::::w::::::::::::w
 l     10           _ 750,00    _
 r:::::::::::::::::::w::::::::::::w
 l     6            _ 1.000,00  _
 r:::::::::::::::::::w::::::::::::w
 l     4            _ 1.200,00  _
 h:::::::::::::::::::j::::::::::::j

<R+>
<F->
a) Qual  o salrio mdio dos empregados dessa empresa? 
b) A empresa vai contratar um gerente e no gostaria que a nova mdia salarial superasse o maior salrio atual. Qual  o salrio mximo que ela pode oferecer ao gerente? 

(Adaptado de questo da 
  Fuvest) 
<p>
25. O grfico a seguir, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questo pelos 250 alunos presentes  prova. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses alunos tiveram nota 2 nessa questo, que valia 5 pontos. 

_`[{grfico de setores em forma de pizza adaptado, contedo a seguir_`]
4: 12%
5: 10%
0: 10%
1: 20%
2: 32%
3: 16%
 
a) Quantos alunos tiveram nota 3? 
b) Qual foi a nota mdia nessa questo? 
<F+>
<R->
<155>
<p>
Matemtica em notcia 

Julho seco

Ares de deserto

  So dois os fenmenos que explicam a ausncia de chuvas. Um  climtico e o outro, social.

Fenmeno climtico

<R+>
<F->
1- As frentes frias vindas do sul do Pas chegam mais fracas  regio Sudeste.
2- Ao chegar a So Paulo, a corrente polar encontra o bloqueio da massa de ar seco.
3- A frente fria se choca com essa "parede" rida e segue em direo ao oceano, j dissipada.
4- Com isso, no h formao de nuvens em So Paulo e, consequentemente, no h registro de chuvas.
<F+>
<R->
<p>
Fenmeno urbano

   A concentrao de prdios altos, asfalto e concreto e a falta de vegetao fortalecem ainda mais a massa de ar seco que bloqueia o frio.

Inverno quente
  
  Mdia das temperaturas mximas no ms de julho
 24}C em 2008 e 22}C mdia 
  histrica 

<R+>
<F->
_`[{grfico "Os ndices pluviomtricos nos meses de julho" adaptado na forma de tabela, descrio a seguir_`]
1 coluna: Ano;
2 caluna: ndice pluviomtrico em milmetros.
<F+>
<R->
<p>
 !:::::::::::::::::::
 l 1     _ 2      _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1961   _ 0,40    _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1974   _ 0,40    _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1976   _ 158,30  _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1995   _ 48,60   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1996   _ 5,40    _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1997   _ 4,70    _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1998   _ 11,40   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 1999   _ 30,90   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2000   _ 59,20   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2001   _ 39,20   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2002   _ 29,40   _
 h:::::::::j::::::::::j
<p>
(Continuao)
 !:::::::::::::::::::
 l 1     _ 2      _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2003   _ 14,90   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2004   _ 81,10   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2005   _ 12,90   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2006   _ 66,80   _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2007   _ 130,40  _
 r:::::::::w::::::::::w
 l 2008   _ 0       _
 h:::::::::j::::::::::j

<R+>
<F->
 1974 -- Antigo recorde de tempo seco
 1995 -- recorde de chuvas

(*O Estado de S. Paulo*, 31/7/2008.) 
<p>
a) Calcule o ndice pluviomtrico mdio nos meses de julho a partir de 1995 at 2008. 
b) Em quantos desses anos o ndice ficou acima da mdia? 
<F+>
<R->

Desafio 

Carro beberro 

  A tabela mostra o nmero de quilmetros rodados e a quantidade, em litros, de gasolina consumida por um automvel no primeiro trimestre do ano. 

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada, descrio a seguir_`]
1 coluna: Ms;
2 coluna: Quilmetros;
3 coluna: Consumo `(L`);
4 coluna: Rendimento `(km/L`).

janeiro -- 2.200 -- 275 -- 8,0;
fevereiro -- 1.190 -- 170 -- 7,0;
maro -- 930 -- 155 -- 6,0.
<p>
a) Em mdia, quantos quilmetros por ms o carro percorreu?  
b) Em mdia, quantos litros de gasolina por ms foram consumidos? 
c) Qual foi o rendimento mdio do carro no primeiro trimestre? 
d) Esse rendimento mdio  uma mdia dos trs rendimentos dados na tabela. Que mdia  essa? 
<156>

Teste seu conhecimento 

1. Um piloto completou as 40 voltas de uma corrida de Frmula 1 em 1 h 16 min 40 s. Em mdia, cada volta foi completada em:
a) 1 min 48 s 
b) 1 min 50 s 
c) 1 min 55 s 
d) 1 min 58 s 

2. A mdia ponderada dos nmeros 100, 200 e 400, com pesos 
<p>
  respectivamente iguais a 5, 3 e 2, :
a) 190
b) 210 
c) 220 
d) 233 

3. O nmero 30  a mdia geomtrica de 15 e: 
a) 40 
b) 45 
c) 50 
d) 60 
  
  O grfico a seguir representa a produo, em milhares de toneladas, de um produto agrcola no estado de So Paulo entre os anos de 2004 e 2008. 
  Observe-o para responder aos testes 4 e 5. 

_`[{grfico adaptado na forma de tabela, descrio a seguir:_`]
1 coluna: ano;
2 coluna: `(x 1.000) toneladas.
<p>
 !::::::::::::::::::
 l 1         _ 2 _
 r::::::::::::::::::w
 l 2004       _ 50 _
 l 2005       _ 40 _
 l 2006       _ 60 _
 l 2007       _ 70 _
 l 2008       _ 60 _
 h:::::::::::::j:::::j

4. Em mdia, quantas mil toneladas foram produzidas ao ano? 
a) 50 
b) 54 
c) 56 
d) 60 

5. Em relao  produo de 2006, em 2007 houve um aumento de: 
a) 10% 
b) 13,3% 
c) 16,7% 
d) 20% 

  Observe a tabela a seguir, com o nmero de alunos nas 25 clas-
<p>
  ses de uma escola, para responder aos testes 6 e 7. 
<F+>

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l n. de alunos _ n. de classes _
 r:::::::::::::::::::::::::::::::w
 l 24           _ 5             _
 l 26           _ 7             _
 l 28           _ 5             _
 l 30           _ 4             _
 l 32           _ 4             _
 l soma          _ 25            _
 h:::::::::::::::j::::::::::::::::j

<R+>
<F->
6. O nmero mdio de alunos por classe : 
a) 27,2 
b) 27,6 
c) 28 
d) 28,4 

7. Quantas classes tm nmero de alunos a abaixo da mdia? 
a) 5 
b) 7 
c) 12 
d) 17 
<p>
  A distribuio das idades dos alunos de uma classe  dada pelo grfico a seguir. Observe-o para responder aos testes 8 e 9. 
<F+>
<R->

<F->
     n.o de alunos
     l        
 16 lcccccc
     l      
     l      
     l        
 12 lcccccccc
     l        
     l        
     l        
  8 lcc    
     l      
     l      
     l      
     l      
  3 lcccccccc
     l        
  1 vxxxxxxxxxx-----
       13 14 15 16 17 idade
                       (anos)
<F+>
<p>
<R+>
<F->
8. Qual das alternativas representa melhor a idade mdia dos alunos? 
a) 14 anos e 4 meses 
b) 14 anos e 7 meses 
c) 14 anos e 10 meses 
d) 15 anos 

9. Exatamente 40% dos alunos tm idade maior que: 
a) 13 anos 
b) 14 anos 
c) 15 anos 
d) 16 anos 

10. Uma prova com 5 questes, cada uma valendo 2,0 pontos, foi aplicada numa classe de 30 alunos. Na tabela est o nmero de alunos que acertaram cada questo: 
<F+>
<R->
<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::
 l questo _ n. de alunos    _
 l         _ que acertaram    _
 r:::::::::::::::::::::::::::w
 l 1      _ 30              _
 l 2      _ 22              _
 l 3      _ 16              _
 l 4      _ 13              _
 l 5      _ 6               _
 h:::::::::j::::::::::::::::::j

<R+>
<F->
  Qual foi a nota mdia dessa prova?
a) 5,8 
b) 5,9 
c) 6,0 
d) 6,1 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte